05. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

1.1 Πρώτοι και Σύνθετοι Αριθμοί

Θεωρία - Ορισμοί - Ιδιότητες

  • Πρώτος αριθμός: Κάθε φυσικός αριθμός \(\alpha\) (εκτός από το 1), ο οποίος έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και τη μονάδα. \[\text{Πρώτοι}= 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \cdots\]

  • Σύνθετος αριθμός: Κάθε φυσικός αριθμός που έχει και άλλους φυσικούς διαιρέτες εκτός από το 1 και τον εαυτό του.

  • Ο αριθμός 1: Δεν θεωρείται ούτε πρώτος ούτε σύνθετος.

  • Άρτιοι και Πρώτοι: Ο αριθμός 2 είναι ο μοναδικός άρτιος πρώτος αριθμός· όλοι οι άλλοι πρώτοι είναι περιττοί.

  • Κόσκινο του Ερατοσθένη: Είναι μια μέθοδος για την εύρεση όλων των πρώτων αριθμών μέχρι ένα συγκεκριμένο όριο, διαγράφοντας διαδοχικά τα πολλαπλάσια των πρώτων.

\[\require{cancel} \begin{matrix} \color{blue}{2} ,\color{blue}{3} , \cancel{4} , \color{blue}{5} , \cancel{6} , \color{blue}{7} , \cancel{8} , \cancel{9} , \cancel{10} , \color{blue}{11} , \cancel{12} , \color{blue}{13} , \cancel{14} , \cancel{15} , \cancel{16} , \color{blue}{17} , \cancel{18} , \color{blue}{19} , \cancel{20} \\ \cancel{21} , \cancel{22} , \color{blue}{23} , \cancel{24} , \cancel{25} , \cancel{26} , \cancel{27} , \cancel{28} , \color{blue}{29} , \cancel{30} , \color{blue}{31} , \cancel{32} , \cancel{33} , \cancel{34} , \cancel{35} , \cancel{36} , \color{blue}{37} , \cancel{38} , \cancel{39} , \cancel{40} \\ \color{blue}{41} , \cancel{42} , \cdots \end{matrix}\]

Παραδείγματα

  1. Ο αριθμός 7 είναι πρώτος γιατί διαιρείται μόνο από το 1 και το 7.
  2. Ο αριθμός 12 είναι σύνθετος γιατί έχει διαιρέτες τους 1, 2, 3, 4, 6 και 12.
  3. Ο αριθμός 19 είναι πρώτος.
  4. Το διπλάσιο οποιουδήποτε πρώτου αριθμού είναι πάντα σύνθετος αριθμός (π.χ. \(2 \times 3 = 6\)).
  5. Οι πρώτοι αριθμοί μέχρι το 20 είναι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Άλυτες Ασκήσεις

  1. Εξετάστε αν ο αριθμός 43 είναι πρώτος ή σύνθετος.
  2. Βρείτε όλους τους διαιρέτες του αριθμού 28 και χαρακτηρίστε τον.
  3. Είναι ο αριθμός 21 πρώτος; Δικαιολογήστε την απάντηση.
  4. Βρείτε τους πρώτους αριθμούς ανάμεσα στο 20 και το 30.
  5. Χαρακτηρίστε ως πρώτο ή σύνθετο τον πενταπλάσιο ενός πρώτου αριθμού.

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός του οποίου το τετράγωνο χωράει στο 100;

Λύση

Ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός είναι το 7, γιατί:

\(7^2 = 49 \le 100\)

Ο επόμενος πρώτος είναι το 11, αλλά \(11^2 = 121 > 100\).

Άρα, ο μεγαλύτερος πρώτος του οποίου το τετράγωνο χωράει στο 100 είναι ο 7.

  1. Γράψτε το σύνολο των διαιρετών του 15.
  2. Αν ένας αριθμός \(\alpha\) είναι πρώτος, τι είδους αριθμός είναι ο \(2\alpha + 2\);.
  3. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο του Ερατοσθένη για να βρείτε τους πρώτους αριθμούς από 30 έως 50.

1.2 Κριτήρια Διαιρετότητας (2, 4, 5, 10, 3, 9)

Θεωρία - Ορισμοί - Ιδιότητες

  • Κριτήρια Διαιρετότητας: Είναι κανόνες που επιτρέπουν να γνωρίζουμε αν ένας αριθμός διαιρείται από κάποιον άλλον χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση.

  • Διαίρεση με το 2: Ο αριθμός πρέπει να είναι άρτιος, δηλαδή να λήγει σε 0, 2, 4, 6, 8.

  • Διαίρεση με το 5: Πρέπει να λήγει σε 0 ή 5.

  • Διαίρεση με το 10: Πρέπει να λήγει σε τουλάχιστον ένα μηδενικό.

  • Διαίρεση με το 4: Τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού πρέπει να σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4 ή να είναι 00.

  • Διαίρεση με το 3 ή το 9: Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού πρέπει να διαιρείται με το 3 ή το 9 αντίστοιχα.

Παραδείγματα

  1. Ο αριθμός 12.510 διαιρείται με το 2, 3, 5, 9 και 10.
  2. Ο αριθμός 772 διαιρείται με το 2 και το 4, αλλά όχι με το 5 ή το 9.
  3. Ο αριθμός 225 διαιρείται με το 3, 5, 9 και 25.
  4. Ο αριθμός 13.600 διαιρείται με το 2, 4, 5, 10, 25 και 100.
  5. Στον αριθμό 2_6, αν βάλουμε το ψηφίο 1 (216), διαιρείται με το 9.

Διαιρείται ο \(123.456\) με το \(3\);

Λύση:

\(1+2+3+4+5+6 = 21\).

Το \(21\) διαιρείται με το \(3\), άρα και ο αριθμός διαιρείται.

Άλυτες Ασκήσεις

  1. Ελέγξτε αν ο αριθμός 450 διαιρείται με το 3 και το 9.
  2. Ποια ψηφία μπορούν να μπουν στο κενό του 36_ ώστε ο αριθμός να διαιρείται με το 2, 4 και 5;.
  3. Βρείτε αν ο αριθμός 1.362 διαιρείται με το 9.
  4. Συμπληρώστε το κενό στον αριθμό 601_ ώστε να διαιρείται με το 9.
  5. Εξετάστε αν ο αριθμός 77.816 διαιρείται με το 4.

Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 4.589 με το 5 χωρίς να κάνετε την πράξη;.

Λύση

Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 4.589 με το 5 είναι 4.

Αιτιολόγηση: Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν τελειώνει σε 0 ή 5. Το 4.589 τελειώνει σε 9, άρα το υπόλοιπο είναι \(9 - 5 = 4\).

  1. Βρείτε το ψηφίο που λείπει από τον αριθμό 92_5 ώστε να διαιρείται με το 11.
  2. Είναι ο αριθμός 38 πολλαπλάσιο του 3;.
  3. Σχηματίστε έναν τριψήφιο αριθμό με τα ψηφία 4, 5, 6 που να διαιρείται με το 12.
  4. Ποιο ψηφίο πρέπει να προστεθεί στο τέλος του 359 για να γίνει διαιρετό με το 25;
  5. Συμπληρώστε το κενό στον αριθμό \(6.21\_\) ώστε να διαιρείται με το \(9\).
  6. Ποιοι αριθμοί μεταξύ \(270\) και \(294\) διαιρούνται ταυτόχρονα με \(2, 5\) και \(10\);

1.3 Μ.Κ.Δ. - Ε.Κ.Π. - Ανάλυση σε Πρώτους Παράγοντες

Θεωρία - Ορισμοί - Ιδιότητες

  • Ανάλυση σε πρώτους παράγοντες: Κάθε σύνθετος αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών μέσω διαδοχικών διαιρέσεων.

Παράδειγμα για τον αριθμό 546

\[\begin{array}{r | l} 546 &\text{διαιρώ με 2} \\ 273&\text{διαιρώ με 3} \\ 91&\text{διαιρώ με 91}\\ 1 \end{array}\]

Άρα \(546=2\cdot3 \cdot91\)



Παράδειγμα για τον αριθμό 1800

\[\begin{array}{r | l} 1800 &\text{διαιρώ με 2} \\ 900&\text{διαιρώ με 2} \\ 450&\text{διαιρώ με 2}\\ 225&\text{διαιρώ με 3}\\ 75&\text{διαιρώ με 3}\\ 25&\text{διαιρώ με 5}\\ 5&\text{διαιρώ με 5}\\ 1& \end{array}\]

Αρα \(1800=2^2\cdot3^2\cdot5^2\)

  • Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ): Το γινόμενο των κοινών πρώτων παραγόντων με τον μικρότερο εκθέτη.

Παράδειγμα

Για να βρούμε τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (ΜΚΔ) των αριθμών 200 και 450, μπορούμε να ακολουθήσουμε μία από τις μεθόδους : την ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ή τον Ευκλείδειο αλγόριθμο.

Μέθοδος 1: Ανάλυση σε πρώτους παράγοντες

Σύμφωνα με τη θεωρία, ο ΜΚΔ αριθμών που έχουν αναλυθεί σε πρώτους παράγοντες είναι το γινόμενο των κοινών πρώτων παραγόντων τους με τον μικρότερο εκθέτη.

  1. Αναλύουμε τον αριθμό 200:
    • \(200 = 2 \cdot 100 = 2 \cdot 2 \cdot 50 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 25 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = \mathbf{2^3 \cdot 5^2}\).
  2. Αναλύουμε τον αριθμό 450:
    • \(450 = 2 \cdot 225 = 2 \cdot 3 \cdot 75 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 25 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = \mathbf{2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}\).
  3. Επιλέγουμε τους κοινούς παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη:
    • Οι κοινοί πρώτοι παράγοντες είναι το 2 και το 5.
    • Για το 2, ο μικρότερος εκθέτης είναι το 1 (από το \(2^1\)).
    • Για το 5, ο μικρότερος εκθέτης είναι το 2 (από το \(5^2\)).
  4. Υπολογίζουμε το γινόμενο:
    • \(ΜΚΔ(200, 450) = 2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = \mathbf{50}\).


Μέθοδος 2: Ευκλείδειος Αλγόριθμος

Αυτή η μέθοδος βασίζεται σε διαδοχικές διαιρέσεις μέχρι το υπόλοιπο να γίνει μηδέν. Ο τελευταίος διαιρέτης είναι ο ΜΚΔ.

  1. Διαιρούμε τον μεγαλύτερο αριθμό με τον μικρότερο:
    • \(450 = 2 \cdot 200 + \mathbf{50}\) (υπόλοιπο 50).
  2. Συνεχίζουμε τη διαίρεση χρησιμοποιώντας τον προηγούμενο διαιρέτη (200) και το νέο υπόλοιπο (50):
    • \(200 = 4 \cdot \mathbf{50} + \mathbf{0}\) (το υπόλοιπο είναι 0).

Επειδή η διαίρεση έγινε τέλεια, ο τελευταίος διαιρέτης 50 είναι ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης.

Αρα: ΜΚΔ(200, 450) = 50

- Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ): Το γινόμενο κοινών και μη κοινών πρώτων παραγόντων με τον μεγαλύτερο εκθέτη.

Παράδειγμα

Για να βρούμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των αριθμών 300 και 520, ακολουθούμε τη μέθοδο της ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Βήμα 1: Ανάλυση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες

  • Για τον αριθμό 300: Ο αριθμός 300 αναλύεται ως \(3 \cdot 100\), δηλαδή \(3 \cdot 10^2\). Γνωρίζοντας ότι \(10 = 2 \cdot 5\), έχουμε: \(300 = 3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 3 \cdot 2^2 \cdot 5^2\). Άρα: \(300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2\).

  • Για τον αριθμό 520: Ο αριθμός 520 αναλύεται ως \(52 \cdot 10\). Αναλύοντας περαιτέρω: \(52 = 4 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13\) και \(10 = 2 \cdot 5\). Συνδυάζοντας τους παράγοντες: \(520 = (2^2 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 5 \cdot 13\). Άρα: \(520 = 2^3 \cdot 5 \cdot 13\).

Βήμα 2: Επιλογή παραγόντων για το ΕΚΠ

Επιλέγουμε όλους τους πρώτους παράγοντες (κοινούς και μη κοινούς) που εμφανίζονται στις δύο αναλύσεις, χρησιμοποιώντας τη μεγαλύτερη δύναμη για τον καθένα:

  • Από τον παράγοντα 2, παίρνουμε το \(2^3\) (από το 520).

  • Από τον παράγοντα 3, παίρνουμε το \(3^1\) (από το 300).

  • Από τον παράγοντα 5, παίρνουμε το \(5^2\) (από το 300).

  • Από τον παράγοντα 13, παίρνουμε το \(13^1\) (από το 520).

Βήμα 3: Υπολογισμός του γινομένου

\(ΕΚΠ(300, 520) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 13\)

\(ΕΚΠ(300, 520) = 8 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 13\)

\(ΕΚΠ(300, 520) = 24 \cdot 325\)

\(ΕΚΠ(300, 520) = 7.800\)

Άρα: Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των αριθμών 300 και 520 είναι το 7.800.

  • Πρώτοι μεταξύ τους: Δύο αριθμοί των οποίων ο ΜΚΔ είναι 1.

  • Βασική Σχέση: Το γινόμενο δύο αριθμών ισούται με το γινόμενο του ΜΚΔ και του ΕΚΠ τους (\(\alpha \cdot \beta = \text{ΜΚΔ} \cdot \text{ΕΚΠ}\)).

Παραδείγματα

  1. Ανάλυση του 120: \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\).
  2. ΜΚΔ(160, 200, 256) = \(2^3 = 8\).
  3. ΕΚΠ(160, 200, 256) = \(2^8 \cdot 5^2 = 6.400\).
  4. Ανάλυση του 1512: \(1512 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 7\).
  5. ΜΚΔ(2520, 2940, 3780) = 420.
  6. Αναλύστε τον \(840\) σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
  • Λύση: \(840 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\).
  1. Βρείτε ΜΚΔ και ΕΚΠ των \(16, 24\).
  • Λύση: \(16 = 2^4\) και \(24 = 2^3 \cdot 3\). ΜΚΔ\((16, 24) = 2^3 = 8\). ΕΚΠ\((16, 24) = 2^4 \cdot 3 = 48\).

Άλυτες Ασκήσεις

  1. Αναλύστε τους αριθμούς 25, 45 και 65 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
  2. Βρείτε τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ των αριθμών 40, 50 και 60.
  3. Αν ΜΚΔ(α, β) = 24, εξηγήστε γιατί οι αριθμοί αυτοί έχουν και άλλους κοινούς διαιρέτες.
  4. Βρείτε τον ΜΚΔ των αριθμών 1584, 2700 και 1512.
  5. Αναλύστε τον αριθμό 300 σε πρώτους παράγοντες.
  6. Βρείτε το ΕΚΠ(8, 12, 15).
  7. Είναι οι αριθμοί 5 και 8 πρώτοι μεταξύ τους; Δικαιολογήστε την απάντηση.
  8. Αν το γινόμενο δύο αριθμών είναι 1.000 και ο ΜΚΔ τους είναι 10, ποιο είναι το ΕΚΠ;.
  9. Αναλύστε τον αριθμό 1210 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
  10. Βρείτε τον ΜΚΔ(22, 32, 50).
  11. Αναλύστε τους αριθμούς \(336\) και \(4.080\) σε πρώτους παράγοντες.
  12. Είναι το γινόμενο δύο πρώτων αριθμών πρώτος ή σύνθετος;

1.4 Ασκήσεων ……συνέχεια

  1. Συμπλήρωση Κενών (Θεωρία)

Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά:

  • α. Ένα κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών \(4\) και \(6\) είναι ο αριθμός ………… και το \(EK\Pi(4, 6) = \dots \dots\)
  • β. Αν το \(EKΠ(x, y) = x\), τότε ο \(x\) είναι ……………………………………. του \(y\).
  • γ. Πρώτοι λέγονται οι αριθμοί που …………………………………………………………… και σύνθετοι λέγονται οι αριθμοί που ……………………………………………………………………………………….
  • δ. Δύο αριθμοί ονομάζονται πρώτοι μεταξύ τους όταν ………………………………………………….
  • ε. ΕΚΠ δύο αριθμών α και λέμε ………………………………………………
  • στ. ΜΚΔ δύο αριθμών α και β λέμε ………………………………………
  1. Κριτήρια Διαιρετότητας

Συμπλήρωσε το κενό με το κατάλληλο ψηφίο ώστε:

  • α. ο αριθμός που θα σχηματιστεί να διαιρείται με το 3

      1. \(4 \Box 2\)
      1. \(71 \Box\)
      1. \(5 \Box 10\)

  • β. ο αριθμός που θα σχηματιστεί να διαιρείται με το 5

      1. \(777 \Box\)
      1. \(22 \Box 20\)

  • γ. ο αριθμός που θα σχηματιστεί να διαιρείται με το 5 και το 3 ταυτόχρονα

      1. \(88 \Box 88 \Box\)
      1. \(123 \Box 456 \Box\)

  • δ. ο αριθμός που θα σχηματιστεί να διαιρείται με το 4 και το 10 ταυτόχρονα

      1. \(444 \Box \Box\)
      1. \(999 \Box 96 \Box\)

Προσοχή σε κάποιες από τις παραπάνω ασκήσεις υπάρχουν πολλές επιλογές

  1. Εύρεση ΕΚΠ (Επιλογή)

Τοποθέτησε ένα “X” στην αντίστοιχη θέση του σωστού αποτελέσματος:

  • (α) \(EK\Pi(4, 6) =\) (6 / 12 / 18 / 24)
  • (β) \(EK\Pi(5, 7) =\) (5 / 7 / 12 / 35)
  • (γ) \(EK\Pi(8, 16) =\) (8 / 16 / 24 / 32)
  • (δ) \(EK\Pi(2, 3, 4) =\) (6 / 8 / 12 / 24)
  1. Πρόβλημα Περιοδικότητας (Λάμπες)

Τρεις φάροι αναβοσβήνουν σε διαφορετικά διαστήματα. Ο πρώτος κάθε \(4\) δευτερόλεπτα, ο δεύτερος κάθε \(6\) δευτερόλεπτα και ο τρίτος κάθε \(10\) δευτερόλεπτα. Αν άναψαν μαζί στις 20:00 το βράδυ, μετά από πόσα δευτερόλεπτα θα ξαναανάψουν μαζί;

Σκεφτείτε ότι ο πρώτος φάρος για παράειγμα ανάβει κάθε 4, 8, 12, … δευτερόλεπτα τα οποία είναι πολλαπλάσια του ………………. άρα ο δεύερος φάρος θα ανάβει κάθε 6, …….. ο τρίτος θα ανάβει κάθε 10, ……..

  1. Πρόβλημα με Ομάδες (Μαθητές)

Μια δασκάλα χορού παρατήρησε ότι αν χωρίσει τους μαθητές της σε ομάδες των \(4\), των \(6\) ή των \(9\), δεν περισσεύει κανένας μαθητής. Πόσοι είναι οι μαθητές, αν γνωρίζουμε ότι το πλήθος τους είναι μεταξύ \(60\) και \(80\);

  1. Πρόβλημα Συνάντησης

Η Ελένη πηγαίνει στο κολυμβητήριο κάθε \(4\) ημέρες και η Μαρία κάθε \(6\) ημέρες. Αν συναντήθηκαν την 1η Ιουνίου, μετά από πόσες ημέρες θα ξανασυναντηθούν; Πόσες φορές θα έχει πάει η καθεμία στο κολυμβητήριο στο διάστημα αυτό;

  1. Εύρεση ΜΚΔ (Επιλογή)

Τοποθέτησε ένα “X” στην αντίστοιχη θέση του σωστού αποτελέσματος:

  • (α) \(MK\Delta(6, 9) =\) (1 / 3 / 6 / 9)
  • (β) \(MK\Delta(12, 18) =\) (2 / 3 / 6 / 12)
  • (γ) \(MK\Delta(15, 25) =\) (1 / 5 / 15 / 25)
  • (δ) \(MK\Delta(20, 40, 60) =\) (5 / 10 / 20 / 60)
  1. Κοινοί Διαιρέτες

Δύο αριθμοί έχουν \(MK\Delta\) το \(18\). Να δικαιολογήσεις γιατί έχουν και άλλους κοινούς διαιρέτες εκτός από τη μονάδα και να τους γράψεις.

  1. Πρώτοι και Σύνθετοι Αριθμοί

Βρες όλους τους διαιρέτες των αριθμών: \(20, 21, 22, 23, 24, 25\). Ποιοι από αυτούς είναι πρώτοι και ποιοι σύνθετοι;

  1. Διερεύνηση (Πολλαπλάσια Πρώτων)

Αν πολλαπλασιάσουμε έναν πρώτο αριθμό με το \(3\), ο αριθμός που θα προκύψει θα είναι πρώτος ή σύνθετος; Να αιτιολογήσεις την απάντησή σου.

  1. Διαιρέτες Αριθμών

Να βρεις όλους τους διαιρέτες των παρακάτω αριθμών χρησιμοποιώντας τα κριτήρια διαιρετότητας:

  • α. \(36\),
  • β. \(45\),
  • γ. \(120\),
  • δ. \(210\).
  1. Ανάλυση σε Γινόμενο Πρώτων Παραγόντων

Να αναλύσεις τους ακόλουθους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (με τη μέθοδο των διαδοχικών διαιρέσεων ή το δεντροδιάγραμμα):

  • α. \(60\),
  • β. \(126\),
  • γ. \(450\),
  • δ. \(1.000\).

  1. O \(1.254\): Διαιρείται με το \(2\) γιατί λήγει σε \(4\) και με το \(3\) γιατί \(1+2+5+4 = 12\) (\(12/3=4\)).

  2. O \(17.375\): Διαιρείται με το \(25\) γιατί τα δύο τελευταία ψηφία του (\(75\)) διαιρούνται με το \(25\).

  3. Ο \(33.471\): Διαιρείται με το \(9\) γιατί το άθροισμα \(3+3+4+7+1 = 18\) διαιρείται με το \(9\).

  4. Διαιρείται ο \(123.456\) με το \(3\);

  • Λύση: \(1+2+3+4+5+6 = 21\).

Το \(21\) διαιρείται με το \(3\), άρα και ο αριθμός διαιρείται.

  1. Συμπληρώστε το κενό στον αριθμό \(6\_4\) ώστε να διαιρείται με το \(9\).
  • Λύση: \(6 + 4 = 10\).

Ο πλησιέστερος αριθμός που διαιρείται με το \(9\) είναι το \(18\).

Άρα \(18 - 10 = 8\).

Ο αριθμός είναι \(684\).

  1. Είναι ο \(678\) διαιρετός από το \(6\);
  • Λύση: Ναι, γιατί είναι άρτιος (διαιρείται με το \(2\)) και το άθροισμα των ψηφίων του \(6+7+8 = 21\) διαιρείται με το \(3\).

  1. Συμπληρώστε το κενό στον αριθμό \(7.92\_\) ώστε να διαιρείται ταυτόχρονα με \(5, 9\) και \(10\).

  2. Ποιοι αριθμοί μεταξύ \(270\) και \(294\) διαιρούνται ακριβώς με \(2, 5\) και \(10\) ταυτόχρονα;.

  3. Βρείτε τον μικρότερο τριψήφιο αριθμό που διαιρείται με το \(3\) και το \(5\).

  4. Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων του 60: \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\).

  5. Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων του 1188: \(1.188 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 11\).

  6. Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων του 2520: \(2.520 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7\).

  7. Αναλύστε τον \(840\) σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

  • Λύση: \(840 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\).
  1. Αναλύστε τον \(78\) σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
  • Λύση: \(78 = 2 \cdot 3 \cdot 13\).
  1. Αναλύστε τον \(348\) σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
  • Λύση: \(348 = 2^2 \cdot 3 \cdot 29\).

  1. Αναλύστε τους αριθμούς \(315, 336\) και \(4.080\) σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

  2. Αναλύστε τους αριθμούς \(1.210\) και \(2.344\) σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

  3. Αναλύστε τον αριθμό \(4.725\) σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

  4. ΜΚΔ\((12, 18) = 6\): Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

  5. ΜΚΔ\((3, 8) = 1\): Οι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι μεταξύ τους.

  6. ΜΚΔ\((8, 12, 24) = 4\): Ο μεγαλύτερος διαιρέτης που τους διαιρεί όλους.

  7. Βρείτε τον ΜΚΔ\((32, 56, 72)\).

  • Λύση: \(\Delta_{32}=\{1,2,4,8,16,32\}\),

\(\Delta_{56}=\{1,2,4,7,8,\dots\}\),

\(\Delta_{72}=\{1,2,3,4,6,8,\dots\}\).

ΜΚΔ\(= 8\).

  1. Αν έχουμε \(64\) γυναίκες, \(52\) άνδρες και \(120\) παιδιά, σε πόσες το πολύ ομάδες μπορούν να μοιραστούν ομοιόμορφα;
  • Λύση: ΜΚΔ\((64, 52, 120) = 4\) ομάδες.
  1. Βρείτε τον ΜΚΔ των \(16, 24\).
  • Λύση: \(16 = 2^4\) και \(24 = 2^3 \cdot 3\).

ΜΚΔ\(= 2^3 = 8\).

  1. Βρείτε τον ΜΚΔ\((3.240, 3.024, 1.440)\).

  2. Ένας ανθοπώλης έχει \(36\) τριαντάφυλλα, \(30\) γαρύφαλλα και \(48\) γαρδένιες. Πόσες το πολύ όμοιες ανθοδέσμες μπορεί να φτιάξει;.

  3. Βρείτε τον ΜΚΔ\((15, 20, 25)\).

  4. Τρεις εργαζόμενοι κάνουν βάρδια κάθε \(10, 4\) και \(3\) ημέρες. Αν ξεκίνησαν μαζί σήμερα, μετά από πόσες μέρες θα ξανασυναντηθούν;.

  5. Βρείτε το ΕΚΠ\((16, 18, 24)\).

ΣυμβουλήΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!